الرياضيات · المتتاليات العددية · الدرس 3 · درس مجاني

المتتاليات من الشكل uₙ₊₁ = a·uₙ + b ونهايات المتتاليات (Suites récurrentes, limites)

أ. تقديم الدرس

المحور في المقرر: 1.1 استعمال المتتاليات الحسابية والهندسية في دراسة أمثلة من متتاليات من الشكل uₙ₊₁ = a·uₙ + b؛ 1.2 استعمال نهايات المتتاليات المرجعية لتحديد نهايات متتاليات عدديةالإطار المرجعي 2025 للامتحان الجهوي للمترشحين الأحرار (المركز الوطني للامتحانات المدرسية وتقييم التعلمات)، الرياضيات، شعبة الآداب والعلوم الإنسانية
مدة الدراسة: 60 دقيقة تقريباًمدة دراسة تقديرية (تقدير تربوي، وليست مدة الامتحان)

أهداف التعلم

أن أدرس متتالية uₙ₊₁ = a·uₙ + b بواسطة متتالية مساعدة هندسية.
أن أكتب uₙ بدلالة n انطلاقاً من المتتالية المساعدة.
أن أعرف نهايات المتتاليات المرجعية.
أن أحدد نهاية متتالية باستعمال المتتاليات المرجعية.

لماذا هذا الدرس مهم في الامتحان؟

هذان هما البندان الوحيدان لمجال المتتاليات في الإطار المرجعي (20% من النقطة)؛ والتمرين النموذجي: متتالية uₙ₊₁ = a·uₙ + b، ثم متتالية مساعدة vₙ يُطلب إثبات أنها هندسية، ثم uₙ بدلالة n ونهايتها.

مكتسبات قبلية

درس المتتاليات الحسابية والهندسية.

ب. الشرح المفصل

شرح تربوي من إعداد المنصة

1. الفكرة: متتالية مساعدة

المتتالية المعرفة بـ uₙ₊₁ = a·uₙ + b (مع a ≠ 1) ليست حسابية ولا هندسية في الغالب. لكننا ندرسها بمتتالية مساعدة vₙ = uₙ − ℓ، حيث ℓ العدد الذي يحقق ℓ = a·ℓ + b (أي ℓ = b / (1 − a)). عندئذ تكون (vₙ) هندسية أساسها a.

Démonstration — البرهان

vₙ₊₁ = uₙ₊₁ − ℓ = a·uₙ + b − ℓ = a·uₙ + b − (a·ℓ + b) = a·(uₙ − ℓ) = a·vₙ

⟹ (vₙ) géométrique de raison a ; vₙ = v₀·aⁿ ; uₙ = vₙ + ℓ = ℓ + (u₀ − ℓ)·aⁿ

في الامتحان تُعطى vₙ عادة (مثلاً vₙ = uₙ − 6)، ويُطلب إثبات أنها هندسية: احسب vₙ₊₁ وعبّر عنه بدلالة vₙ.

2. مثال كامل

Exemple — مثال

u₀ = 2 ; uₙ₊₁ = 0,5·uₙ + 3

u₁ = 0,5 × 2 + 3 = 4 ; u₂ = 0,5 × 4 + 3 = 5

ℓ = 0,5ℓ + 3 ⟺ 0,5ℓ = 3 ⟺ ℓ = 6 ; on pose vₙ = uₙ − 6

vₙ₊₁ = uₙ₊₁ − 6 = 0,5·uₙ − 3 = 0,5·(uₙ − 6) = 0,5·vₙ ⟹ (vₙ) géométrique, q = 0,5

v₀ = u₀ − 6 = −4 ; vₙ = −4 × 0,5ⁿ ; uₙ = 6 − 4 × 0,5ⁿ

Vérification : u₁ = 6 − 4 × 0,5 = 4 ✓ ; u₂ = 6 − 4 × 0,25 = 5 ✓

−1 < 0,5 < 1 ⟹ lim 0,5ⁿ = 0 ⟹ lim uₙ = 6

3. نهايات المتتاليات المرجعية

Limites de référence — نهايات مرجعية (n → +∞)
المتتالية	النهاية
n ; n² ; n³ ; √n	+∞
1/n ; 1/n² ; 1/n³ ; 1/√n	0
qⁿ avec q > 1	+∞
qⁿ avec q = 1	1
qⁿ avec −1 < q < 1	0
qⁿ avec q ≤ −1	pas de limite — لا تقبل نهاية

Exemples — أمثلة

lim (3 + 2/n) = 3 + 0 = 3

lim (2n² − 5) = +∞

lim (5 × 2ⁿ) = +∞ (2 > 1)

lim (1 − 3 × 0,8ⁿ) = 1 − 0 = 1 (−1 < 0,8 < 1)

4. وضعية: ساكنة بحيرة

في بحيرة 1000 سمكة. كل سنة يموت 20% من الأسماك، ويُضاف 300 سمكة. نرمز بـ uₙ لعدد الأسماك بعد n سنة. فـ uₙ₊₁ = 0,8·uₙ + 300 (بقاء 80% ثم إضافة 300).

Solution — الحل

u₀ = 1000 ; u₁ = 0,8 × 1000 + 300 = 1100 ; u₂ = 0,8 × 1100 + 300 = 1180

ℓ = 0,8ℓ + 300 ⟺ ℓ = 1500 ; vₙ = uₙ − 1500 ; v₀ = −500 ; q = 0,8

uₙ = 1500 − 500 × 0,8ⁿ ; lim uₙ = 1500

التأويل: يقترب عدد الأسماك من 1500 دون أن يتجاوزه؛ وهذا مثال على «استحضار معارف غير معلنة في السؤال في وضعية مألوفة» كما يسميه الإطار.

أخطاء شائعة

✗ عدّ uₙ₊₁ = 0,5uₙ + 3 متتالية هندسية أساسها 0,5.

✓ الحد الثابت 3 يمنع ذلك؛ المتتالية المساعدة vₙ = uₙ − 6 هي الهندسية.

✗ lim qⁿ = 0 لكل q.

✓ فقط إذا كان −1 < q < 1؛ وإذا كان q > 1 فالنهاية +∞.

✗ نسيان إضافة ℓ في الأخير: uₙ = −4 × 0,5ⁿ.

✓ uₙ = vₙ + ℓ = 6 − 4 × 0,5ⁿ.

ج. الملخص المنظم

الأفكار الأساسية

uₙ₊₁ = a·uₙ + b تُدرس بـ vₙ = uₙ − ℓ حيث ℓ = a·ℓ + b.
(vₙ) هندسية أساسها a.
uₙ = ℓ + (u₀ − ℓ)·aⁿ.
نهايات qⁿ حسب قيمة q.
النهاية تُحدد بالمتتاليات المرجعية.

المفاهيم الأساسية

Suite auxiliaire (متتالية مساعدة): متتالية vₙ نعرفها من uₙ لتحويل المسألة إلى متتالية هندسية أو حسابية.
Limite d'une suite (نهاية متتالية): القيمة التي تقترب منها uₙ عندما يكبر n.
Suite de référence (متتالية مرجعية): متتالية معروفة النهاية: n، 1/n، qⁿ…

معلومات للحفظ

vₙ₊₁ = a·vₙ
−1 < q < 1 ⟹ lim qⁿ = 0 ; q > 1 ⟹ lim qⁿ = +∞

بطاقة المراجعة السريعة

ℓ = aℓ + b.
vₙ = uₙ − ℓ géométrique (q = a).
uₙ = ℓ + (u₀ − ℓ)aⁿ.
Limites de qⁿ selon q.
Référence : n, 1/n, √n, qⁿ.

د. منهجية الامتحان

كيف يمكن أن يرد الدرس في الامتحان؟

تمرين في مجال المتتاليات. حسب جدول التخصيص في الإطار المرجعي: المتتاليات 20%، الدوال العددية 60%، الاحتمالات 20%؛ ومستويات المهارة: تطبيق مباشر للمعارف (تعريف، خاصية، مبرهنة، صيغة، تقنية…) 70%، واستحضار وتطبيق معارف غير معلنة في السؤال في وضعية مألوفة 30%.
تُقوَّم صحة النتيجة وخطوات الحساب والتعليل والكتابة الرياضية السليمة.

البنية المنتظرة للجواب

كتابة المعطيات بالرموز.
اختيار الخاصية أو الصيغة المناسبة وذكرها.
إنجاز الحساب خطوة خطوة.
كتابة النتيجة بجملة واضحة (مع الوحدة أو السياق عند الحاجة).

خطوات العمل

اقرأ السؤال كاملاً وحدد المطلوب.
اكتب الصيغة قبل التعويض.
تحقق من النتيجة (إشارة، مجال، قيمة معقولة).

أخطاء تضيع النقط

نتيجة دون خطوات.
خلط بين الصيغ (مثلاً بين المتتالية الحسابية والهندسية).
إغفال شروط التطبيق (مجال التعريف، q ≠ 1…).

هـ. أمثلة وتطبيقات

مثال تعليمي من إعداد المنصة

مثال محلول: الاشتغال بوثيقة

تمرين محلول من إعداد المنصة (ليس من ورقة رسمية).

الوثيقة 1 — نص من إعداد المنصة للتدريب — ليس مقتطفاً من مصدر أو مؤلف

Énoncé

Soit (uₙ) définie par u₀ = 3 et uₙ₊₁ = 3uₙ − 4. On pose vₙ = uₙ − 2. 1) Calculer u₁. 2) Montrer que (vₙ) est géométrique. 3) Exprimer uₙ en fonction de n et déterminer lim uₙ.

المصدر: تمرين تطبيقي من إعداد المنصة.

u₁ ?
عرض الجواب
On remplace n par 0 dans la relation : u₁ = 3u₀ − 4 = 3 × 3 − 4 = 5.
(vₙ) géométrique ?
عرض الجواب
vₙ₊₁ = uₙ₊₁ − 2 = 3uₙ − 6 = 3(uₙ − 2) = 3vₙ : (vₙ) est géométrique de raison 3 et de premier terme v₀ = 3 − 2 = 1.
uₙ et lim uₙ ?
عرض الجواب
vₙ = 3ⁿ donc uₙ = 2 + 3ⁿ (vérification : u₁ = 2 + 3 = 5). Comme 3 > 1, lim 3ⁿ = +∞ donc lim uₙ = +∞.

تدريب ذاتي

تدريب تطبيقي من إعداد المنصة — ليس موضوعاً رسمياً

Soit u₀ = 10 et uₙ₊₁ = 0,5uₙ + 1. On pose vₙ = uₙ − 2. Montrer que (vₙ) est géométrique, puis calculer lim uₙ.
Déterminer : lim (4 − 1/n²) ; lim (n² + 3n) ; lim (2 × 0,9ⁿ + 7).

و. إتمام الدرس

دروس مرتبطة

التقدم في الدرس

الحالة: لم يبدأ. يُحفظ التقدم على هذا الجهاز فقط. إكمال الدرس لا يعني إتقانه: الإتقان سيُحسب لاحقاً من نتائج التمارين.

لائحة المراجعة

أحسب ℓ من ℓ = aℓ + b.
أثبت أن vₙ هندسية.
أكتب uₙ بدلالة n.
أحدد النهاية بالمتتاليات المرجعية.

يصبح زر «أكملت الدرس» متاحاً بعد تأكيد القراءة وتحقيق كل عناصر لائحة المراجعة.