الرياضيات · المتتاليات العددية · الدرس 1 · درس مجاني
المتتاليات تمثل 20% من النقطة حسب الإطار المرجعي؛ وأسئلتها الكلاسيكية: إثبات أن المتتالية حسابية أو هندسية، كتابة uₙ بدلالة n، حساب مجموع، دراسة الرتابة.
شرح تربوي من إعداد المنصة
المتتالية العددية (suite numérique) دالة تربط كل عدد طبيعي n بعدد حقيقي uₙ يسمى الحد العام (terme général). نكتبها (uₙ).
| حسابية (arithmétique) | هندسية (géométrique) | |
|---|---|---|
| التعريف الترجعي | uₙ₊₁ = uₙ + r | uₙ₊₁ = q × uₙ |
| الثابت | r: الأساس (raison) | q: الأساس (raison) |
| الحد العام انطلاقاً من u₀ | uₙ = u₀ + n·r | uₙ = u₀ × qⁿ |
| انطلاقاً من حد uₚ | uₙ = uₚ + (n − p)·r | uₙ = uₚ × qⁿ⁻ᵖ |
| لإثبات طبيعتها | uₙ₊₁ − uₙ ثابت (= r) | uₙ₊₁ / uₙ ثابت (= q) إذا كانت الحدود غير منعدمة |
Sommes — المجاميع
Suite arithmétique : S = (nombre de termes) × (premier terme + dernier terme) / 2
Suite géométrique (q ≠ 1) : S = premier terme × (1 − q^(nombre de termes)) / (1 − q)
Nombre de termes de uₚ à uₙ : n − p + 1
انتبه إلى عدد الحدود: من u₀ إلى uₙ يوجد n + 1 حداً، ومن u₁ إلى uₙ يوجد n حداً.
Exemple : uₙ₊₁ − uₙ = 3 > 0 ⟹ (uₙ) est croissante.
Exemple corrigé — مثال محلول
(uₙ) arithmétique, u₀ = 5, r = 3.
1) uₙ = u₀ + n·r = 5 + 3n ; u₁₀ = 5 + 30 = 35.
2) S = u₀ + u₁ + … + u₁₀ : 11 termes ⟹ S = 11 × (5 + 35) / 2 = 220.
(vₙ) géométrique, v₀ = 2, q = 3.
3) vₙ = 2 × 3ⁿ ; v₄ = 2 × 81 = 162.
4) v₀ + v₁ + v₂ + v₃ + v₄ = 2 × (1 − 3⁵) / (1 − 3) = 2 × (−242) / (−2) = 242.
حين يبدأ ترقيم المتتالية من 1 لا من 0، نستعمل الصيغة انطلاقاً من u₁. نعتبر متتالية حسابية حدها الأول u₁ = 7 وأساسها r = 4.
uₙ = u₁ + (n − 1)·r = 7 + 4(n − 1) = 4n + 3
u₂₀ = 4 × 20 + 3 = 83
S = u₁ + u₂ + … + u₂₀ : 20 termes ⟹ S = 20 × (7 + 83) / 2 = 900
ولإثبات أن متتالية معرفة بصيغة صريحة هندسية، نحسب الخارج: إذا كان wₙ = 5 × 2ⁿ فإن wₙ₊₁ / wₙ = (5 × 2ⁿ⁺¹)/(5 × 2ⁿ) = 2، وهو ثابت؛ إذن (wₙ) هندسية أساسها 2 وحدها الأول w₀ = 5.
نصيحة: اكتب دائماً الصيغة العامة أولاً بالرموز، ثم عوض بالقيم؛ فالمصحح يمنح نقطاً على الصيغة الصحيحة حتى لو أخطأت في الحساب الأخير.
✗ uₙ = u₀ + n·q للمتتالية الهندسية.
✓ الهندسية: uₙ = u₀ × qⁿ (ضرب وقوة، لا جمع).
✗ عدد الحدود من u₀ إلى u₁₀ هو 10.
✓ عدد الحدود 11 (n − p + 1 = 10 − 0 + 1).
✗ إثبات أن المتتالية حسابية بحساب حدين فقط.
✓ يجب إثبات أن uₙ₊₁ − uₙ ثابت لكل n.
مثال تعليمي من إعداد المنصة
الوثيقة 1 — نص من إعداد المنصة للتدريب — ليس مقتطفاً من مصدر أو مؤلف
Soit (uₙ) définie par u₀ = 4 et uₙ₊₁ = uₙ − 2. 1) Montrer que (uₙ) est arithmétique. 2) Exprimer uₙ en fonction de n. 3) Calculer S = u₀ + u₁ + … + u₉.المصدر: تمرين تطبيقي من إعداد المنصة.
1) Nature de la suite ?
uₙ₊₁ − uₙ = −2 لكل n، وهو ثابت: (uₙ) حسابية أساسها r = −2 وحدها الأول u₀ = 4.
2) uₙ en fonction de n ?
صيغة الحد العام لمتتالية حسابية: uₙ = u₀ + n·r = 4 + n × (−2) = 4 − 2n.
3) S ?
عدد الحدود 10؛ u₉ = 4 − 18 = −14؛ S = 10 × (4 + (−14)) / 2 = 10 × (−10) / 2 = −50.
تدريب تطبيقي من إعداد المنصة — ليس موضوعاً رسمياً
We use privacy-conscious analytics to understand traffic and game engagement — no names, emails, or other personal information collected. See our Cookie Policy or manage this anytime via Cookie Preferences in the footer.