الرياضيات · الدوال العددية · الدرس 4 · درس مجاني

الدالة اللوغاريتمية النيبيرية ln (Fonction logarithme népérien)

أ. تقديم الدرس

المحور في المقرر: Fonctions numériques — Fonctions logarithmiquesالإطار المرجعي 2025 للامتحان الجهوي للمترشحين الأحرار (المركز الوطني للامتحانات المدرسية وتقييم التعلمات)، الرياضيات، شعبة الآداب والعلوم الإنسانية
مدة الدراسة: 70 دقيقة تقريباًمدة دراسة تقديرية (تقدير تربوي، وليست مدة الامتحان)

أهداف التعلم

أن أعرف مجال تعريف ln وخصائصها الجبرية.
أن أحسب مشتقة ln و ln(u).
أن أحل معادلات ومتراجحات لوغاريتمية.
أن أعرف النهايات المرجعية ومنحنى ln.

لماذا هذا الدرس مهم في الامتحان؟

الدوال اللوغاريتمية جزء من مجال الدوال العددية (60%) في الإطار المرجعي؛ وتُطلب في حل المعادلات والمتراجحات وفي دراسة دوال تتضمن ln، وفي إيجاد عتبة متتالية هندسية.

مكتسبات قبلية

درس الاشتقاق.
القوى.

ب. الشرح المفصل

شرح تربوي من إعداد المنصة

1. التعريف والخصائص الجبرية

الدالة ln معرفة على ]0 ; +∞[، وهي الدالة الأصلية للدالة x ↦ 1/x التي تنعدم في 1. لذلك ln(1) = 0 و ln(e) = 1 حيث e ≈ 2,718.

Propriétés — خصائص

Pour a > 0 et b > 0 :

ln(ab) = ln a + ln b

ln(a/b) = ln a − ln b

ln(1/a) = −ln a

ln(aⁿ) = n·ln a (n entier)

ln(√a) = (1/2)·ln a

2. المشتقة والرتابة والنهايات

Dérivée et limites

(ln x)′ = 1/x sur ]0 ; +∞[

(ln u)′ = u′/u si u > 0

lim (x→0⁺) ln x = −∞ ; lim (x→+∞) ln x = +∞

lim (x→+∞) (ln x)/x = 0

1/x > 0 على ]0 ; +∞[، إذن ln تزايدية قطعاً.
ln x < 0 إذا 0 < x < 1، و ln x > 0 إذا x > 1.
المنحنى يمر بالنقطة (1 ; 0) والنقطة (e ; 1)، ومحور الأراتيب مقارب عمودي له.

3. المعادلات والمتراجحات

Équations — معادلات

Pour a > 0, b > 0 : ln a = ln b ⟺ a = b ; ln a < ln b ⟺ a < b

ln x = k ⟺ x = eᵏ

Exemple : ln(2x − 1) = 0 avec 2x − 1 > 0, soit x > 1/2

⟺ 2x − 1 = 1 ⟺ x = 1 (1 > 1/2 : solution acceptée)

ابدأ دائماً بشرط الوجود: ما داخل ln يجب أن يكون موجباً قطعاً، ثم تحقق أن الحل ينتمي إلى المجال.

Application aux suites

Seuil d'une suite : 2ⁿ > 1000 ⟺ n·ln 2 > ln 1000 ⟺ n > ln 1000 / ln 2 ≈ 9,97 ⟹ n ≥ 10.

4. متراجحة لوغاريتمية مفصلة

Résoudre ln(2x − 4) ≤ ln x

Conditions : 2x − 4 > 0 et x > 0 ⟺ x > 2

ln croissante : 2x − 4 ≤ x ⟺ x ≤ 4

Ensemble des solutions : S = ]2 ; 4]

الخطوات الثلاث ثابتة: (1) شروط الوجود وتقاطعها، (2) استعمال تزايد ln لحذف ln من الطرفين دون تغيير اتجاه المتراجحة، (3) تقاطع النتيجة مع الشروط. ونسيان الخطوة الثالثة خطأ شائع يضيع النقطة.

وتذكر: لكتابة عدد على شكل لوغاريتم نستعمل ln(eᵏ) = k؛ فمثلاً المعادلة ln x = 2 حلها x = e².

قراءة منحنى ln: يقطع محور الأفاصيل في النقطة (1 ; 0)، ويكون تحت المحور على ]0 ; 1[ وفوقه على ]1 ; +∞[، ويتزايد ببطء متزايد كلما كبر x؛ وهذا ما تعبر عنه النهاية lim (ln x)/x = 0: ln يؤول إلى ما لا نهاية لكن أبطأ بكثير من x.

أخطاء شائعة

✗ ln(a + b) = ln a + ln b.

✓ الخاصية تخص الجداء: ln(ab) = ln a + ln b.

✗ حل معادلة لوغاريتمية دون شرط الوجود.

✓ حدد المجال (ما داخل ln > 0) وتحقق من الحلول.

✗ ln(0) = 0.

✓ ln غير معرفة في 0؛ ln(1) = 0.

ج. الملخص المنظم

الأفكار الأساسية

ln معرفة على ]0 ; +∞[، ln 1 = 0، ln e = 1.
ln(ab) = ln a + ln b، ln(aⁿ) = n ln a.
(ln x)′ = 1/x، (ln u)′ = u′/u.
ln تزايدية: ln a < ln b ⟺ a < b.
ln x = k ⟺ x = eᵏ.

المفاهيم الأساسية

Logarithme népérien (اللوغاريتم النيبيري): الدالة الأصلية لـ 1/x على ]0 ; +∞[ التي تنعدم في 1.
e: العدد الذي يحقق ln(e) = 1، قيمته التقريبية 2,718.
Condition d'existence (شرط الوجود): ما داخل ln يجب أن يكون موجباً قطعاً.

معلومات للحفظ

ln 1 = 0, ln e = 1
(ln u)′ = u′/u
ln(aⁿ) = n ln a

بطاقة المراجعة السريعة

Df = ]0 ; +∞[.
ln(ab) = ln a + ln b.
(ln x)′ = 1/x.
Croissante.
Toujours vérifier la condition d'existence.

د. منهجية الامتحان

كيف يمكن أن يرد الدرس في الامتحان؟

تمرين في مجال الدوال العددية (ln). حسب جدول التخصيص في الإطار المرجعي: المتتاليات 20%، الدوال العددية 60%، الاحتمالات 20%؛ ومستويات المهارة: تطبيق مباشر للمعارف (تعريف، خاصية، مبرهنة، صيغة، تقنية…) 70%، واستحضار وتطبيق معارف غير معلنة في السؤال في وضعية مألوفة 30%.
تُقوَّم صحة النتيجة وخطوات الحساب والتعليل والكتابة الرياضية السليمة.

البنية المنتظرة للجواب

كتابة المعطيات بالرموز.
اختيار الخاصية أو الصيغة المناسبة وذكرها.
إنجاز الحساب خطوة خطوة.
كتابة النتيجة بجملة واضحة (مع الوحدة أو السياق عند الحاجة).

خطوات العمل

اقرأ السؤال كاملاً وحدد المطلوب.
اكتب الصيغة قبل التعويض.
تحقق من النتيجة (إشارة، مجال، قيمة معقولة).

أخطاء تضيع النقط

نتيجة دون خطوات.
خلط بين الصيغ (مثلاً بين المتتالية الحسابية والهندسية).
إغفال شروط التطبيق (مجال التعريف، q ≠ 1…).

هـ. أمثلة وتطبيقات

مثال تعليمي من إعداد المنصة

مثال محلول: الاشتغال بوثيقة

تمرين محلول (من إعداد المنصة).

الوثيقة 1 — نص من إعداد المنصة للتدريب — ليس مقتطفاً من مصدر أو مؤلف

Énoncé

1) Simplifier A = ln 8 − ln 2. 2) Résoudre ln(x + 3) = ln(2x). 3) Calculer la dérivée de f(x) = ln(x² + 1).

المصدر: تمرين تطبيقي من إعداد المنصة.

1) A ?
عرض الجواب
A = ln(8/2) = ln 4 = 2 ln 2 (لأن 4 = 2²).
2) Équation ?
عرض الجواب
شرط الوجود: x + 3 > 0 و 2x > 0 أي x > 0. ln(x + 3) = ln(2x) ⟺ x + 3 = 2x ⟺ x = 3، وهو موجب: الحل x = 3.
3) f′(x) ?
عرض الجواب
u(x) = x² + 1 > 0 دائماً، u′(x) = 2x، إذن f′(x) = 2x/(x² + 1).

تدريب ذاتي

تدريب تطبيقي من إعداد المنصة — ليس موضوعاً رسمياً

Résoudre ln(x − 1) < 0.
Écrire ln 50 en fonction de ln 2 et ln 5.

و. إتمام الدرس

دروس مرتبطة

التقدم في الدرس

الحالة: لم يبدأ. يُحفظ التقدم على هذا الجهاز فقط. إكمال الدرس لا يعني إتقانه: الإتقان سيُحسب لاحقاً من نتائج التمارين.

لائحة المراجعة

أطبق الخصائص الجبرية.
أحسب مشتقة ln(u).
أحل معادلة ومتراجحة مع شرط الوجود.
أعرف النهايات المرجعية.

يصبح زر «أكملت الدرس» متاحاً بعد تأكيد القراءة وتحقيق كل عناصر لائحة المراجعة.