الوثيقة 1 — نص من إعداد المنصة للتدريب — ليس مقتطفاً من مصدر أو مؤلف
Énoncé
1) Simplifier B = e³ × e⁻¹ / e². 2) Résoudre eˣ = 5. 3) Calculer la dérivée de g(x) = x·eˣ et étudier son signe.المصدر: تمرين تطبيقي من إعداد المنصة.
الرياضيات · الدوال العددية · الدرس 6 · درس مجاني
الدالة الأسية النيبيرية exp (Fonction exponentielle népérienne)
أ. تقديم الدرس
- المحور في المقرر
- Fonctions numériques — Fonction exponentielle népérienneالإطار المرجعي 2025 للامتحان الجهوي للمترشحين الأحرار (المركز الوطني للامتحانات المدرسية وتقييم التعلمات)، الرياضيات، شعبة الآداب والعلوم الإنسانية
- مدة الدراسة
- 65 دقيقة تقريباًمدة دراسة تقديرية (تقدير تربوي، وليست مدة الامتحان)
أهداف التعلم
- أن أعرف الدالة exp دالةً عكسية لـ ln.
- أن أطبق الخصائص الجبرية للأسية.
- أن أحسب مشتقة eˣ و eᵘ.
- أن أحل معادلات ومتراجحات أسية.
لماذا هذا الدرس مهم في الامتحان؟
الدالة الأسية جزء من مجال الدوال العددية (60%) في الإطار المرجعي؛ وتُطلب في حساب المشتقات وحل المعادلات ودراسة دوال وفي نماذج النمو.
مكتسبات قبلية
- درس الدالة ln.
ب. الشرح المفصل
شرح تربوي من إعداد المنصة
1. التعريف والعلاقة بـ ln
الدالة الأسية النيبيرية exp معرفة على ℝ، ونكتب exp(x) = eˣ. وهي الدالة العكسية للدالة ln: كل عدد حقيقي y يوافقه عدد موجب x = eʸ بحيث ln x = y.
Relations — علاقات
eˣ > 0 pour tout x réel
e⁰ = 1 ; e¹ = e
ln(eˣ) = x pour tout x réel ; e^(ln x) = x pour x > 0
2. الخصائص والمشتقة والنهايات
Propriétés, dérivée, limites
e^(a+b) = eᵃ·eᵇ
e^(a−b) = eᵃ / eᵇ
e^(−a) = 1 / eᵃ
(eᵃ)ⁿ = e^(na)
(eˣ)′ = eˣ ; (eᵘ)′ = u′·eᵘ
lim (x→−∞) eˣ = 0 ; lim (x→+∞) eˣ = +∞
- (eˣ)′ = eˣ > 0: الدالة تزايدية قطعاً على ℝ.
- المنحنى فوق محور الأفاصيل دائماً، ويقترب منه عند −∞ (مقارب أفقي y = 0)، ويمر بالنقطة (0 ; 1).
3. المعادلات والمتراجحات
Équations — معادلات
eᵃ = eᵇ ⟺ a = b ; eᵃ < eᵇ ⟺ a < b
eˣ = k (k > 0) ⟺ x = ln k ; eˣ = k (k ≤ 0) : pas de solution
Exemple : e^(2x − 1) = 1 ⟺ 2x − 1 = 0 ⟺ x = 1/2
المعادلة eˣ = −3 لا حل لها لأن eˣ موجبة دائماً؛ انتبه إلى هذه الحالة قبل استعمال ln.
4. معادلة أسية بتغيير المتغير
Résoudre e^(2x) − 3eˣ + 2 = 0
On pose X = eˣ (X > 0) : e^(2x) = (eˣ)² = X²
X² − 3X + 2 = 0 ⟺ (X − 1)(X − 2) = 0 ⟺ X = 1 ou X = 2
eˣ = 1 ⟺ x = 0 ; eˣ = 2 ⟺ x = ln 2
S = {0 ; ln 2}
الفكرة: نعوض eˣ بمتغير X موجب، فنحصل على معادلة من الدرجة الثانية نعرف حلها، ثم نرجع إلى x بالدالة ln، ونرفض كل قيمة سالبة أو منعدمة لـ X لأن eˣ موجبة دائماً.
ومشتقة دالة مثل f(x) = e^(−x): نطبق (eᵘ)′ = u′eᵘ مع u = −x و u′ = −1، فنحصل على f′(x) = −e^(−x) < 0: الدالة تناقصية على ℝ.
مقارنة بين exp و ln: منحنياهما متماثلان بالنسبة للمستقيم y = x لأن كلاً منهما عكسي للآخر. فالنقطة (0 ; 1) على منحنى exp تقابلها النقطة (1 ; 0) على منحنى ln، والنقطة (1 ; e) تقابلها (e ; 1). وتنمو eˣ بسرعة كبيرة جداً، بينما ينمو ln x ببطء شديد.
هذا التناظر يفسر القواعد: كل خاصية لـ ln تقابلها خاصية لـ exp؛ ln يحول الجداء إلى مجموع (ln(ab) = ln a + ln b)، و exp يحول المجموع إلى جداء (e^(a+b) = eᵃeᵇ).
أخطاء شائعة
✗ e^(a+b) = eᵃ + eᵇ.
✓ e^(a+b) = eᵃ·eᵇ.
✗ (e^(3x))′ = e^(3x).
✓ (e^(3x))′ = 3e^(3x) (قاعدة eᵘ).
✗ حل eˣ = −2 بـ x = ln(−2).
✓ لا حل: eˣ > 0 دائماً.
ج. الملخص المنظم
الأفكار الأساسية
- exp معرفة على ℝ وموجبة قطعاً.
- exp وln دالتان عكسيتان.
- e^(a+b) = eᵃeᵇ.
- (eᵘ)′ = u′eᵘ.
- eˣ = k ⟺ x = ln k إذا k > 0.
المفاهيم الأساسية
- Fonction exponentielle (الدالة الأسية)
- الدالة العكسية لـ ln، معرفة على ℝ بـ exp(x) = eˣ.
- Fonction réciproque (الدالة العكسية)
- دالة تعيد كل صورة إلى سابقتها: ln(eˣ) = x.
- Asymptote horizontale (مقارب أفقي)
- المستقيم y = 0 الذي يقترب منه منحنى eˣ عند −∞.
معلومات للحفظ
- e⁰ = 1
- (eᵘ)′ = u′eᵘ
- eˣ > 0
بطاقة المراجعة السريعة
- D = ℝ, eˣ > 0.
- e^(a+b) = eᵃeᵇ.
- (eᵘ)′ = u′eᵘ.
- Croissante.
- eˣ = k ⟺ x = ln k (k > 0).
د. منهجية الامتحان
كيف يمكن أن يرد الدرس في الامتحان؟
- تمرين في مجال الدوال العددية (exp). حسب جدول التخصيص في الإطار المرجعي: المتتاليات 20%، الدوال العددية 60%، الاحتمالات 20%؛ ومستويات المهارة: تطبيق مباشر للمعارف (تعريف، خاصية، مبرهنة، صيغة، تقنية…) 70%، واستحضار وتطبيق معارف غير معلنة في السؤال في وضعية مألوفة 30%.
- تُقوَّم صحة النتيجة وخطوات الحساب والتعليل والكتابة الرياضية السليمة.
البنية المنتظرة للجواب
- كتابة المعطيات بالرموز.
- اختيار الخاصية أو الصيغة المناسبة وذكرها.
- إنجاز الحساب خطوة خطوة.
- كتابة النتيجة بجملة واضحة (مع الوحدة أو السياق عند الحاجة).
خطوات العمل
- اقرأ السؤال كاملاً وحدد المطلوب.
- اكتب الصيغة قبل التعويض.
- تحقق من النتيجة (إشارة، مجال، قيمة معقولة).
أخطاء تضيع النقط
- نتيجة دون خطوات.
- خلط بين الصيغ (مثلاً بين المتتالية الحسابية والهندسية).
- إغفال شروط التطبيق (مجال التعريف، q ≠ 1…).
هـ. أمثلة وتطبيقات
مثال تعليمي من إعداد المنصة
مثال محلول: الاشتغال بوثيقة
1) B ?
عرض الجواب
نجمع الأسس في البسط ونطرح أس المقام: B = e^(3 − 1 − 2) = e⁰ = 1.
2) eˣ = 5 ?
عرض الجواب
بما أن 5 > 0 فالمعادلة تقبل حلاً وحيداً؛ نطبق ln على الطرفين: x = ln 5 (≈ 1,61).
3) g′(x) ?
عرض الجواب
جداء: g′(x) = 1·eˣ + x·eˣ = (1 + x)eˣ؛ بما أن eˣ > 0 فإشارة g′ هي إشارة 1 + x: سالبة على ]−∞ ; −1[ وموجبة على ]−1 ; +∞[، فـ g تقبل قيمة دنيا في −1.
تدريب ذاتي
تدريب تطبيقي من إعداد المنصة — ليس موضوعاً رسمياً
- Résoudre e^(x + 2) > 1.
- Calculer la dérivée de h(x) = e^(x² − 1).