الوثيقة 1 — نص من إعداد المنصة للتدريب — ليس مقتطفاً من مصدر أو مؤلف
Énoncé
Soit f(x) = x² − 4x + 3. 1) Calculer f′(x). 2) Étudier les variations de f. 3) Donner l'équation de la tangente au point d'abscisse 0.المصدر: تمرين تطبيقي من إعداد المنصة.
الرياضيات · الدوال العددية · الدرس 1 · درس مجاني
الاشتقاق: العدد المشتق، المماس، قواعد الحساب (Dérivation)
أ. تقديم الدرس
- المحور في المقرر
- Fonctions numériques — Dérivation et étude de fonctionsالإطار المرجعي 2025 للامتحان الجهوي للمترشحين الأحرار (المركز الوطني للامتحانات المدرسية وتقييم التعلمات)، الرياضيات، شعبة الآداب والعلوم الإنسانية
- مدة الدراسة
- 70 دقيقة تقريباًمدة دراسة تقديرية (تقدير تربوي، وليست مدة الامتحان)
أهداف التعلم
- أن أفهم العدد المشتق ومعادلة المماس.
- أن أحسب مشتقات الدوال المرجعية.
- أن أطبق قواعد الاشتقاق (مجموع، جداء، خارج).
- أن أربط إشارة المشتقة برتابة الدالة.
لماذا هذا الدرس مهم في الامتحان؟
الدوال العددية 60% من النقطة حسب الإطار المرجعي، والاشتقاق أداتها الأساسية: كل دراسة دالة (رتابة، مطاريف، جدول تغيرات، مماس) تمر بحساب f′.
مكتسبات قبلية
- الحساب الجبري.
- إشارة الحدانية وثلاثية الحدود.
ب. الشرح المفصل
شرح تربوي من إعداد المنصة
1. العدد المشتق والمماس
العدد المشتق للدالة f في النقطة a (nombre dérivé) هو f′(a): ميل المماس (pente de la tangente) لمنحنى f في النقطة ذات الأفصول a.
Équation de la tangente — معادلة المماس
Tangente au point d'abscisse a : y = f′(a)(x − a) + f(a)
2. المشتقات المرجعية وقواعد الحساب
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| k (constante) | 0 |
| x | 1 |
| xⁿ (n entier ≥ 1) | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x (x ≠ 0) | −1/x² |
| √x (x > 0) | 1/(2√x) |
| الدالة | المشتقة |
|---|---|
| u + v | u′ + v′ |
| k·u | k·u′ |
| u·v | u′v + uv′ |
| u/v (v ≠ 0) | (u′v − uv′)/v² |
3. المشتقة والرتابة
- إذا كانت f′(x) > 0 على مجال I فإن f تزايدية قطعاً على I.
- إذا كانت f′(x) < 0 على I فإن f تناقصية قطعاً على I.
- إذا انعدمت f′ في a وتغيرت إشارتها، فإن f تقبل مطرافاً (extremum) في a: قيمة قصوى أو دنيا.
Exemple corrigé — مثال محلول
f(x) = x³ − 3x + 1
f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1)
f′(x) = 0 ⟺ x = −1 ou x = 1
f′ > 0 sur ]−∞ ; −1[ et ]1 ; +∞[ ; f′ < 0 sur ]−1 ; 1[
Maximum local : f(−1) = −1 + 3 + 1 = 3 ; minimum local : f(1) = 1 − 3 + 1 = −1
4. أمثلة مفصلة على القواعد
Quotient
h(x) = (2x + 1)/(x − 1), x ≠ 1
u = 2x + 1, u′ = 2 ; v = x − 1, v′ = 1
h′(x) = (u′v − uv′)/v² = [2(x − 1) − (2x + 1)] / (x − 1)² = −3/(x − 1)²
الخطوات: نسمي البسط u والمقام v، نحسب u′ و v′، نطبق الصيغة، ثم نبسط البسط فقط ونترك المقام مربعاً لأنه موجب دائماً؛ وهكذا نقرأ الإشارة بسهولة: h′(x) < 0 لكل x ≠ 1، إذن h تناقصية على كل مجال من مجالي التعريف.
Produit
g(x) = (2x + 1)(x − 3) : g′(x) = 2(x − 3) + (2x + 1) × 1 = 4x − 5
ومن أخطاء الحساب الشائعة نسيان الأقواس عند طرح uv′؛ لذلك اكتب الطرح بين معقوفين ثم بسّط.
ولفهم معنى المشتقة: f′(a) تقيس سرعة تغير f بجوار a. فإذا كانت f(t) مسافة قطعتها سيارة بدلالة الزمن، فإن f′(t) سرعتها اللحظية؛ وإذا كانت f′(a) كبيرة موجبة فالدالة تتزايد بسرعة، وإذا كانت قريبة من الصفر فالمنحنى شبه أفقي بجوار a، وهذا ما نراه في القمم والقيعان.
أخطاء شائعة
✗ (u·v)′ = u′·v′.
✓ (u·v)′ = u′v + uv′.
✗ استنتاج مطراف من f′(a) = 0 وحده.
✓ يجب أن تتغير إشارة f′ عند a.
✗ نسيان f(a) في معادلة المماس.
✓ y = f′(a)(x − a) + f(a).
ج. الملخص المنظم
الأفكار الأساسية
- f′(a) ميل المماس في a.
- y = f′(a)(x − a) + f(a).
- مشتقات مرجعية وقواعد الجمع والجداء والخارج.
- إشارة f′ تحدد الرتابة.
- تغير إشارة f′ عند صفر يعطي مطرافاً.
المفاهيم الأساسية
- Nombre dérivé (العدد المشتق)
- f′(a)، ميل المماس للمنحنى في النقطة ذات الأفصول a.
- Tangente (المماس)
- المستقيم الذي يمس المنحنى في نقطة وميله f′(a).
- Extremum (مطراف)
- قيمة قصوى أو دنيا محلية للدالة.
معلومات للحفظ
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- (uv)′ = u′v + uv′
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
بطاقة المراجعة السريعة
- Tangente : y = f′(a)(x − a) + f(a).
- f′ > 0 ⟹ croissante.
- f′ < 0 ⟹ décroissante.
- f′ s'annule en changeant de signe ⟹ extremum.
د. منهجية الامتحان
كيف يمكن أن يرد الدرس في الامتحان؟
- تمرين في مجال الدوال العددية. حسب جدول التخصيص في الإطار المرجعي: المتتاليات 20%، الدوال العددية 60%، الاحتمالات 20%؛ ومستويات المهارة: تطبيق مباشر للمعارف (تعريف، خاصية، مبرهنة، صيغة، تقنية…) 70%، واستحضار وتطبيق معارف غير معلنة في السؤال في وضعية مألوفة 30%.
- تُقوَّم صحة النتيجة وخطوات الحساب والتعليل والكتابة الرياضية السليمة.
البنية المنتظرة للجواب
- كتابة المعطيات بالرموز.
- اختيار الخاصية أو الصيغة المناسبة وذكرها.
- إنجاز الحساب خطوة خطوة.
- كتابة النتيجة بجملة واضحة (مع الوحدة أو السياق عند الحاجة).
خطوات العمل
- اقرأ السؤال كاملاً وحدد المطلوب.
- اكتب الصيغة قبل التعويض.
- تحقق من النتيجة (إشارة، مجال، قيمة معقولة).
أخطاء تضيع النقط
- نتيجة دون خطوات.
- خلط بين الصيغ (مثلاً بين المتتالية الحسابية والهندسية).
- إغفال شروط التطبيق (مجال التعريف، q ≠ 1…).
هـ. أمثلة وتطبيقات
مثال تعليمي من إعداد المنصة
مثال محلول: الاشتغال بوثيقة
1) f′(x) ?
عرض الجواب
مشتقة حدودية حداً حداً: (x²)′ = 2x و (−4x)′ = −4 و (3)′ = 0، إذن f′(x) = 2x − 4.
2) Variations ?
عرض الجواب
f′(x) = 0 ⟺ x = 2؛ f′ < 0 على ]−∞ ; 2[ فـ f تناقصية، و f′ > 0 على ]2 ; +∞[ فـ f تزايدية؛ قيمة دنيا f(2) = 4 − 8 + 3 = −1.
3) Tangente en 0 ?
عرض الجواب
f(0) = 3، f′(0) = −4؛ المماس: y = −4(x − 0) + 3 أي y = −4x + 3.
تدريب ذاتي
تدريب تطبيقي من إعداد المنصة — ليس موضوعاً رسمياً
- Calculer la dérivée de g(x) = (2x + 1)(x − 3).
- Calculer la dérivée de h(x) = (x + 1)/(x − 2) pour x ≠ 2.