الوثيقة 1 — نص من إعداد المنصة للتدريب — ليس مقتطفاً من مصدر أو مؤلف
Énoncé
Résoudre dans ℝ² : 1) { ln x − ln y = ln 2 ; x + y = 9 }. 2) { eˣ − 2eʸ = 1 ; eˣ + eʸ = 7 }.المصدر: تمرين تطبيقي من إعداد المنصة.
الرياضيات · الدوال العددية · الدرس 5 · درس مجاني
النظمات اللوغاريتمية والأسية البسيطة (Systèmes logarithmiques et exponentiels)
أ. تقديم الدرس
- المحور في المقرر
- 2.2.4 حل نظمات لوغاريتمية بسيطة؛ 2.3.4 حل نظمات أسية نبيرية بسيطةالإطار المرجعي 2025 للامتحان الجهوي للمترشحين الأحرار (المركز الوطني للامتحانات المدرسية وتقييم التعلمات)، الرياضيات، شعبة الآداب والعلوم الإنسانية
- مدة الدراسة
- 50 دقيقة تقريباًمدة دراسة تقديرية (تقدير تربوي، وليست مدة الامتحان)
أهداف التعلم
- أن أحدد شروط وجود النظمة اللوغاريتمية.
- أن أحول نظمة لوغاريتمية إلى نظمة خطية أو إلى مجموع وجداء.
- أن أحل نظمة أسية بتغيير المجهول X = eˣ.
- أن أتحقق من الحلول وأرفض ما لا يحقق الشروط.
لماذا هذا الدرس مهم في الامتحان؟
النظمات اللوغاريتمية والأسية بندان صريحان في الإطار المرجعي (2.2.4 و2.3.4)، وهي من أسئلة التطبيق المباشر في تمرين الدوال.
مكتسبات قبلية
- درسا الدالة اللوغاريتمية والدالة الأسية.
ب. الشرح المفصل
شرح تربوي من إعداد المنصة
1. نظمة خطية في ln x وln y
إذا ظهر ln x وln y بشكل خطي، نضع X = ln x وY = ln y، فنحصل على نظمة خطية عادية. ثم نرجع إلى المجهولين الأصليين: x = e^X وy = e^Y.
Exemple 1 — مثال 1
{ 2 ln x − ln y = 1 ; ln x + ln y = 5 } avec x > 0, y > 0
X = ln x, Y = ln y : { 2X − Y = 1 ; X + Y = 5 } ⟹ (addition) 3X = 6 ⟹ X = 2, Y = 3
x = e², y = e³ ✓ (2·2 − 3 = 1 ; 2 + 3 = 5)
2. نظمة مجموع وجداء
قاعدة ln x + ln y = ln(xy) تحول الشرط اللوغاريتمي إلى جداء. وإذا عُرف مجموع عددين وجداؤهما، فهما حلا المعادلة t² − S·t + P = 0.
Exemple 2 — مثال 2
{ x + y = 7 ; ln x + ln y = ln 12 } avec x > 0, y > 0
ln(xy) = ln 12 ⟹ xy = 12 ; x + y = 7
t² − 7t + 12 = 0 ⟹ t = 3 ou t = 4
S = {(3 ; 4) ; (4 ; 3)} (les deux couples vérifient x > 0 et y > 0)
ابدأ دائماً بشروط الوجود (x > 0 وy > 0)، وارفض في النهاية كل حل لا يحققها.
3. النظمات الأسية
نضع X = eˣ وY = eʸ (مع X > 0 وY > 0)، فتصير النظمة جبرية؛ ثم x = ln X وy = ln Y.
Exemple 3 — مثال 3
{ 2eˣ − eʸ = 1 ; eˣ + eʸ = 5 }
X = eˣ, Y = eʸ : { 2X − Y = 1 ; X + Y = 5 } ⟹ X = 2, Y = 3 (positifs ✓)
x = ln 2, y = ln 3
Exemple 4 — مثال 4
{ eˣ + eʸ = 5 ; eˣ · eʸ = 6 } ⟹ X + Y = 5, XY = 6 ⟹ t² − 5t + 6 = 0 ⟹ t ∈ {2 ; 3}
S = {(ln 2 ; ln 3) ; (ln 3 ; ln 2)}
4. لماذا نتحقق من الشروط؟ مثال على حل مرفوض
قد تعطي الحسابات الجبرية حلاً لا يحقق شروط الوجود، فيجب رفضه. هذا يحدث خاصة حين نجمع لوغاريتمين في لوغاريتم واحد: ln x + ln y = ln(xy) لا تصح إلا إذا كان x > 0 وy > 0، بينما ln(xy) معرفة أيضاً إذا كان x وy سالبين معاً. لذلك نكتب الشروط في البداية ونرجع إليها في النهاية.
Exemple 5 — solution rejetée
{ x + y = −7 ; ln x + ln y = ln 12 } conditions : x > 0, y > 0
xy = 12 et x + y = −7 ⟹ t² + 7t + 12 = 0 ⟹ t = −3 ou t = −4
Les deux nombres sont négatifs : ils ne vérifient pas x > 0, y > 0 ⟹ S = ∅
وفي النظمات الأسية يكون الشرط X = eˣ > 0 وY = eʸ > 0: فإذا أعطى الحل الجبري قيمة سالبة أو منعدمة لـ X أو Y رفضناها، لأن الدالة الأسية لا تأخذ إلا قيماً موجبة قطعاً. هذه الخطوة يغفلها كثير من المترشحين فيفقدون جزءاً من النقطة.
5. منهجية عامة
- شروط الوجود (للوغاريتم: ما داخل ln موجب قطعاً).
- تحويل باستعمال الخاصيات (ln(xy) = ln x + ln y ؛ eᵃ·eᵇ = eᵃ⁺ᵇ).
- تغيير المجهول لنظمة خطية أو مجموع/جداء.
- الحل ثم الرجوع إلى المجهولين الأصليين.
- التحقق من الشروط وكتابة مجموعة الحلول S.
أخطاء شائعة
✗ نسيان شروط الوجود في النظمة اللوغاريتمية.
✓ اكتب x > 0 وy > 0 قبل الحل، وتحقق منها في الأخير.
✗ قبول حل سالب لـ X = eˣ.
✓ eˣ > 0 دائماً: كل قيمة سالبة أو منعدمة لـ X مرفوضة.
✗ ln(x + y) = ln x + ln y.
✓ الخاصية الصحيحة: ln(xy) = ln x + ln y.
ج. الملخص المنظم
الأفكار الأساسية
- X = ln x، Y = ln y يحولان النظمة إلى نظمة خطية.
- ln x + ln y = ln(xy).
- مجموع وجداء: t² − St + P = 0.
- X = eˣ > 0 في النظمات الأسية.
- الشروط ثم الحل ثم التحقق.
المفاهيم الأساسية
- Système (نظمة)
- معادلتان أو أكثر بمجهولين أو أكثر تُحل معاً.
- Changement d'inconnue (تغيير المجهول)
- تعويض تعبير بمجهول جديد لتبسيط النظمة.
- Conditions d'existence (شروط الوجود)
- الشروط التي يكون فيها التعبير معرفاً.
معلومات للحفظ
- ln(xy) = ln x + ln y
- t² − St + P = 0
- eˣ > 0
بطاقة المراجعة السريعة
- Conditions : x > 0, y > 0.
- X = ln x, Y = ln y → système linéaire.
- Somme/produit → t² − St + P = 0.
- X = eˣ > 0.
- Vérifier puis écrire S.
د. منهجية الامتحان
كيف يمكن أن يرد الدرس في الامتحان؟
- تمرين في مجال الدوال العددية. حسب جدول التخصيص في الإطار المرجعي: المتتاليات 20%، الدوال العددية 60%، الاحتمالات 20%؛ ومستويات المهارة: تطبيق مباشر للمعارف (تعريف، خاصية، مبرهنة، صيغة، تقنية…) 70%، واستحضار وتطبيق معارف غير معلنة في السؤال في وضعية مألوفة 30%.
- تُقوَّم صحة النتيجة وخطوات الحساب والتعليل والكتابة الرياضية السليمة.
البنية المنتظرة للجواب
- كتابة المعطيات بالرموز.
- اختيار الخاصية أو الصيغة المناسبة وذكرها.
- إنجاز الحساب خطوة خطوة.
- كتابة النتيجة بجملة واضحة (مع الوحدة أو السياق عند الحاجة).
خطوات العمل
- اقرأ السؤال كاملاً وحدد المطلوب.
- اكتب الصيغة قبل التعويض.
- تحقق من النتيجة (إشارة، مجال، قيمة معقولة).
أخطاء تضيع النقط
- نتيجة دون خطوات.
- خلط بين الصيغ (مثلاً بين المتتالية الحسابية والهندسية).
- إغفال شروط التطبيق (مجال التعريف، q ≠ 1…).
هـ. أمثلة وتطبيقات
مثال تعليمي من إعداد المنصة
مثال محلول: الاشتغال بوثيقة
Système 1 : conditions et transformation ?
عرض الجواب
x > 0 et y > 0. ln x − ln y = ln(x/y) = ln 2 ⟹ x = 2y.
Système 1 : solution ?
عرض الجواب
2y + y = 9 ⟹ y = 3, x = 6 (positifs ✓). S = {(6 ; 3)}.
Système 2 ?
عرض الجواب
X = eˣ, Y = eʸ : { X − 2Y = 1 ; X + Y = 7 } ⟹ 3Y = 6 ⟹ Y = 2, X = 5 (positifs ✓). x = ln 5, y = ln 2. S = {(ln 5 ; ln 2)}.
تدريب ذاتي
تدريب تطبيقي من إعداد المنصة — ليس موضوعاً رسمياً
- Résoudre : { ln x + ln y = ln 6 ; x + y = 5 }.
- Résoudre : { 3eˣ + eʸ = 10 ; eˣ − eʸ = −2 }.