الرياضيات · حساب الاحتمالات · الدرس 2 · درس مجاني

حساب الاحتمالات: الأحداث، الاتحاد، التقاطع، الحدث المضاد (Probabilités)

أ. تقديم الدرس

المحور في المقرر: Calcul des probabilités — حساب الاحتمالاتالإطار المرجعي 2025 للامتحان الجهوي للمترشحين الأحرار (المركز الوطني للامتحانات المدرسية وتقييم التعلمات)، الرياضيات، شعبة الآداب والعلوم الإنسانية
مدة الدراسة: 60 دقيقة تقريباًمدة دراسة تقديرية (تقدير تربوي، وليست مدة الامتحان)

أهداف التعلم

أن أحدد كون الإمكانيات والأحداث.
أن أحسب احتمال حدث في حالة تساوي الاحتمال باستعمال النموذج التعدادي المناسب.
أن أحسب احتمال اتحاد حدثين وتقاطعهما.
أن أحسب احتمال الحدث المضاد.

لماذا هذا الدرس مهم في الامتحان؟

حساب الاحتمالات 20% من النقطة حسب الإطار المرجعي، وبنوده أربعة: النموذج التعدادي المناسب، احتمال اتحاد حدثين، احتمال تقاطع حدثين، احتمال الحدث المضاد.

مكتسبات قبلية

درس التعداد.

ب. الشرح المفصل

شرح تربوي من إعداد المنصة

1. المفردات

Vocabulaire — مفردات
المفهوم	المعنى	مثال (رمي نرد)
Univers Ω (كون الإمكانيات)	مجموعة كل النتائج	Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Événement (حدث)	جزء من Ω	A: «نتيجة زوجية» = {2, 4, 6}
Événement contraire (الحدث المضاد) Ā	النتائج التي لا تحقق A	Ā = {1, 3, 5}
A ∩ B (تقاطع)	A و B معاً	زوجي وأكبر من 3: {4, 6}
A ∪ B (اتحاد)	A أو B	زوجي أو أكبر من 3: {2, 4, 5, 6}

2. حساب الاحتمال

Formules — صيغ

Équiprobabilité : P(A) = (nombre de cas favorables) / (nombre de cas possibles)

0 ≤ P(A) ≤ 1 ; P(Ω) = 1 ; P(∅) = 0

P(Ā) = 1 − P(A)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Exemple

Dé équilibré : P(pair) = 3/6 = 1/2 ; P(> 3) = 3/6 = 1/2

P(pair et > 3) = 2/6 = 1/3

P(pair ou > 3) = 1/2 + 1/2 − 1/3 = 2/3 (= 4/6 : vérification directe)

3. التقاطع والاتحاد بالتعداد

احتمال التقاطع A ∩ B نحسبه بعدّ النتائج التي تحقق A وB معاً، ثم نقسم على عدد الإمكانيات. واحتمال الاتحاد نحصل عليه بالصيغة P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)، أو بالعدّ المباشر للتحقق. وإذا كان A ∩ B = ∅ (حدثان غير منسجمين) فإن P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Exemple

Urne : 5 boules rouges numérotées 1 à 5 et 3 vertes numérotées 1 à 3 ; on tire une boule : card(Ω) = 8.

R : « rouge » (5 issues) ; U : « numéro 1 » (2 issues : rouge 1 et verte 1) ; R ∩ U : « rouge numéro 1 » (1 issue)

P(R ∩ U) = 1/8 ; P(R ∪ U) = 5/8 + 2/8 − 1/8 = 6/8 = 3/4

عبارة «على الأقل» تدعو غالباً إلى استعمال الحدث المضاد.
تحقق دائماً أن الاحتمال بين 0 و 1.
يقتصر الإطار المرجعي في هذا المجال على أربعة بنود (النموذج التعدادي، الاتحاد، التقاطع، الحدث المضاد)؛ لذلك لا يدرس هذا الدرس الاستقلالية ولا المتغير العشوائي.

4. مثال مفصل: رمي نرد مرتين

On lance deux fois un dé équilibré : 6 × 6 = 36 issues équiprobables.

P(deux six) = 1/36

P(aucun six) = (5 × 5)/36 = 25/36 (5 issues sans six pour chaque lancer : principe multiplicatif)

P(au moins un six) = 1 − 25/36 = 11/36

الخطوات: نحسب عدد الإمكانيات بالمبدأ الأساسي (36)، ونعد النتائج التي لا تحتوي ستة (5 × 5 = 25)، ثم نلاحظ أن «على الأقل ستة واحدة» هو الحدث المضاد لـ«لا ستة».

وللتحقق: يمكن العد مباشرة؛ النتائج التي تحتوي ستة واحدة على الأقل هي 6 (ستة في الرمية الأولى) + 6 (في الثانية) − 1 (ستتان محسوبتان مرتين) = 11 نتيجة من 36.

أخطاء شائعة

✗ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) دائماً.

✓ يجب طرح P(A ∩ B) إلا إذا كان الحدثان غير منسجمين.

✗ احتمال أكبر من 1.

✓ الاحتمال دائماً بين 0 و 1: نتيجة أكبر تعني خطأ في الحساب.

✗ حساب «على الأقل» بعد كل الحالات واحدة واحدة.

✓ استعمل الحدث المضاد: 1 − P(لا شيء).

ج. الملخص المنظم

الأفكار الأساسية

Ω كون الإمكانيات، والحدث جزء منه.
P(A) = الحالات الملائمة / الحالات الممكنة (تساوي الاحتمال).
P(Ā) = 1 − P(A).
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
P(A ∩ B) تُحسب بعدّ النتائج المشتركة.

المفاهيم الأساسية

Équiprobabilité (تساوي الاحتمال): كل النتائج الممكنة لها الاحتمال نفسه.
Événement contraire (الحدث المضاد): الحدث المكون من النتائج التي لا تحقق A.
Événements incompatibles (حدثان غير منسجمين): A ∩ B = ∅، فيكون P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

معلومات للحفظ

P(Ā) = 1 − P(A)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

بطاقة المراجعة السريعة

Favorables / possibles.
Contraire : 1 − P(A).
Union : + + − ∩.
Intersection : dénombrer les issues communes.
«Au moins un» → contraire.

د. منهجية الامتحان

كيف يمكن أن يرد الدرس في الامتحان؟

تمرين في مجال حساب الاحتمالات. حسب جدول التخصيص في الإطار المرجعي: المتتاليات 20%، الدوال العددية 60%، الاحتمالات 20%؛ ومستويات المهارة: تطبيق مباشر للمعارف (تعريف، خاصية، مبرهنة، صيغة، تقنية…) 70%، واستحضار وتطبيق معارف غير معلنة في السؤال في وضعية مألوفة 30%.
تُقوَّم صحة النتيجة وخطوات الحساب والتعليل والكتابة الرياضية السليمة.

البنية المنتظرة للجواب

كتابة المعطيات بالرموز.
اختيار الخاصية أو الصيغة المناسبة وذكرها.
إنجاز الحساب خطوة خطوة.
كتابة النتيجة بجملة واضحة (مع الوحدة أو السياق عند الحاجة).

خطوات العمل

اقرأ السؤال كاملاً وحدد المطلوب.
اكتب الصيغة قبل التعويض.
تحقق من النتيجة (إشارة، مجال، قيمة معقولة).

أخطاء تضيع النقط

نتيجة دون خطوات.
خلط بين الصيغ (مثلاً بين المتتالية الحسابية والهندسية).
إغفال شروط التطبيق (مجال التعريف، q ≠ 1…).

هـ. أمثلة وتطبيقات

مثال تعليمي من إعداد المنصة

مثال محلول: الاشتغال بوثيقة

تمرين محلول (من إعداد المنصة)، تتمة لتمرين درس التعداد.

الوثيقة 1 — نص من إعداد المنصة للتدريب — ليس مقتطفاً من مصدر أو مؤلف

Énoncé

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes indiscernables au toucher. On tire simultanément 2 boules. Calculer la probabilité des événements : A « deux boules rouges », B « deux boules de même couleur », C « au moins une boule verte ».

المصدر: تمرين تطبيقي من إعداد المنصة.

P(A) ?
عرض الجواب
card(Ω) = C₈² = 28؛ card(A) = C₅² = 10؛ P(A) = 10/28 = 5/14.
P(B) ?
عرض الجواب
B: حمراوان أو خضراوان: C₅² + C₃² = 10 + 3 = 13؛ P(B) = 13/28.
P(C) ?
عرض الجواب
C هو الحدث المضاد لـ A (لا خضراء = حمراوان): P(C) = 1 − 5/14 = 9/14.

تدريب ذاتي

تدريب تطبيقي من إعداد المنصة — ليس موضوعاً رسمياً

On lance deux dés équilibrés. Calculer la probabilité d'obtenir une somme égale à 7.
On lance trois fois une pièce équilibrée. Calculer la probabilité d'obtenir au moins une fois «face».

و. إتمام الدرس

دروس مرتبطة

التقدم في الدرس

الحالة: لم يبدأ. يُحفظ التقدم على هذا الجهاز فقط. إكمال الدرس لا يعني إتقانه: الإتقان سيُحسب لاحقاً من نتائج التمارين.

لائحة المراجعة

أحدد Ω والأحداث.
أحسب احتمالاً بتساوي الاحتمال.
أحسب احتمال التقاطع والاتحاد.
أستعمل الحدث المضاد.

يصبح زر «أكملت الدرس» متاحاً بعد تأكيد القراءة وتحقيق كل عناصر لائحة المراجعة.