Skip to content
ZOQSY

الرياضيات · حساب الاحتمالات · الدرس 1 · درس مجاني

التعداد: المبدأ الأساسي، الترتيبات، التأليفات (Dénombrement)

أ. تقديم الدرس

المحور في المقرر
Calcul des probabilités — أدوات التعدادالإطار المرجعي 2025 للامتحان الجهوي للمترشحين الأحرار (المركز الوطني للامتحانات المدرسية وتقييم التعلمات)، الرياضيات، شعبة الآداب والعلوم الإنسانية
مدة الدراسة
60 دقيقة تقريباًمدة دراسة تقديرية (تقدير تربوي، وليست مدة الامتحان)

أهداف التعلم

  • أن أطبق المبدأ الأساسي للتعداد (principe multiplicatif).
  • أن أميز بين السحب بإحلال ودون إحلال، بترتيب ودون ترتيب.
  • أن أحسب الترتيبات والتأليفات.
  • أن أختار الأداة المناسبة لوضعية تعداد.

لماذا هذا الدرس مهم في الامتحان؟

حساب الاحتمالات 20% من النقطة حسب الإطار المرجعي، وأول بنوده «استعمال النموذج التعدادي المناسب حسب الوضعية المدروسة»، وكل حساب احتمال في حالة تساوي الاحتمال يحتاج إلى عد الإمكانيات: عدد الحالات الملائمة وعدد الحالات الممكنة.

مكتسبات قبلية

  • الضرب والقوى.

ب. الشرح المفصل

شرح تربوي من إعداد المنصة

1. المبدأ الأساسي للتعداد

إذا كانت تجربة تتم على مراحل، الأولى بـ n₁ إمكانية والثانية بـ n₂ إمكانية…، فإن عدد النتائج الممكنة هو n₁ × n₂ × … (principe multiplicatif).

Exemple

Un menu : 3 entrées, 4 plats, 2 desserts ⟹ 3 × 4 × 2 = 24 menus possibles.

2. الأدوات حسب نوع السحب

Quel outil ? — أي أداة؟
نوع السحبالأداةالعدد
p عنصراً بترتيب وبإحلال (avec remise)p-listenᵖ
p عنصراً بترتيب ودون إحلال (sans remise)arrangementAₙᵖ = n × (n − 1) × … × (n − p + 1)
ترتيب n عنصراً كلهاpermutationn! = n × (n − 1) × … × 2 × 1
p عنصراً دون ترتيب ودون إحلال (tirage simultané)combinaisonCₙᵖ = Aₙᵖ / p!

À retenir

0! = 1 ; Cₙ⁰ = Cₙⁿ = 1 ; Cₙ¹ = n ; Cₙᵖ = Cₙⁿ⁻ᵖ

3. أمثلة محسوبة

Exemples corrigés

Code de 3 chiffres (0 à 9), chiffres répétables : 10³ = 1 000.

Podium (1er, 2e, 3e) parmi 8 coureurs : A₈³ = 8 × 7 × 6 = 336.

Ranger 4 livres sur une étagère : 4! = 24.

Choisir 2 délégués parmi 30 élèves : C₃₀² = (30 × 29)/2 = 435.

السؤال المفتاح: هل الترتيب مهم؟ هل يمكن تكرار العنصر؟ الجواب عن هذين السؤالين يحدد الأداة.

4. نفس المجموعة، أسئلة مختلفة

Classe de 10 élèves :

Comité de 3 membres (sans rôles) : C₁₀³ = (10 × 9 × 8)/(3 × 2 × 1) = 120

Bureau : président, secrétaire, trésorier (rôles distincts) : A₁₀³ = 10 × 9 × 8 = 720

Vérification : 720 = 120 × 3! (chaque comité peut se répartir les rôles de 3! = 6 façons)

هذا المثال يبين الفرق الجوهري: حين تكون للعناصر أدوار مختلفة يصبح الترتيب مهماً (ترتيبات)، وحين لا تكون لها أدوار لا يهم الترتيب (تأليفات). والعلاقة Aₙᵖ = Cₙᵖ × p! تسمح بالتحقق من الحساب.

في الامتحان، اكتب جملة تبرر اختيار الأداة: «السحب آني، إذن لا يهم الترتيب ولا تكرار، فعدد الإمكانيات Cₙᵖ». هذه الجملة جزء من التعليل المطلوب.

وتذكر أن السحب «بالتتابع مع الإحلال» يعطي p-قوائم (nᵖ)، و«بالتتابع دون إحلال» يعطي ترتيبات (Aₙᵖ).

أخطاء شائعة

✗ استعمال الترتيبات في سحب آني.

✓ السحب الآني (simultané) دون ترتيب: التأليفات Cₙᵖ.

✗ Cₙᵖ = n!/p! دائماً.

✓ Cₙᵖ = Aₙᵖ / p! = n! / (p!(n − p)!).

ج. الملخص المنظم

الأفكار الأساسية

  • المبدأ الأساسي: ضرب عدد الإمكانيات في كل مرحلة.
  • بترتيب وبإحلال: nᵖ.
  • بترتيب دون إحلال: Aₙᵖ.
  • دون ترتيب دون إحلال: Cₙᵖ.
  • n! لترتيب n عنصراً.

المفاهيم الأساسية

Arrangement (ترتيبة)
اختيار p عنصراً مرتباً دون تكرار من n عنصراً.
Combinaison (تأليفة)
اختيار p عنصراً دون ترتيب ودون تكرار من n عنصراً.
Factorielle (عاملي)
n! = n × (n − 1) × … × 1، و0! = 1.

معلومات للحفظ

  • nᵖ / Aₙᵖ / Cₙᵖ / n!
  • Ordre ? Répétition ?

بطاقة المراجعة السريعة

  • Étapes → multiplier.
  • Ordre + remise → nᵖ.
  • Ordre sans remise → Aₙᵖ.
  • Sans ordre → Cₙᵖ.
  • Tout ranger → n!.

د. منهجية الامتحان

كيف يمكن أن يرد الدرس في الامتحان؟

  • تمرين في مجال حساب الاحتمالات. حسب جدول التخصيص في الإطار المرجعي: المتتاليات 20%، الدوال العددية 60%، الاحتمالات 20%؛ ومستويات المهارة: تطبيق مباشر للمعارف (تعريف، خاصية، مبرهنة، صيغة، تقنية…) 70%، واستحضار وتطبيق معارف غير معلنة في السؤال في وضعية مألوفة 30%.
  • تُقوَّم صحة النتيجة وخطوات الحساب والتعليل والكتابة الرياضية السليمة.

البنية المنتظرة للجواب

  • كتابة المعطيات بالرموز.
  • اختيار الخاصية أو الصيغة المناسبة وذكرها.
  • إنجاز الحساب خطوة خطوة.
  • كتابة النتيجة بجملة واضحة (مع الوحدة أو السياق عند الحاجة).

خطوات العمل

  1. اقرأ السؤال كاملاً وحدد المطلوب.
  2. اكتب الصيغة قبل التعويض.
  3. تحقق من النتيجة (إشارة، مجال، قيمة معقولة).

أخطاء تضيع النقط

  • نتيجة دون خطوات.
  • خلط بين الصيغ (مثلاً بين المتتالية الحسابية والهندسية).
  • إغفال شروط التطبيق (مجال التعريف، q ≠ 1…).

هـ. أمثلة وتطبيقات

مثال تعليمي من إعداد المنصة

مثال محلول: الاشتغال بوثيقة

تمرين محلول (من إعداد المنصة).

الوثيقة 1 — نص من إعداد المنصة للتدريب — ليس مقتطفاً من مصدر أو مؤلف

Énoncé

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire simultanément 2 boules. 1) Nombre de tirages possibles ? 2) Nombre de tirages de 2 boules rouges ? 3) Nombre de tirages bicolores ?

المصدر: تمرين تطبيقي من إعداد المنصة.

  1. 1) Tirages possibles ?

    عرض الجواب

    سحب آني دون ترتيب ودون إحلال، إذن نستعمل التأليفات: C₈² = (8 × 7)/2 = 28.

  2. 2) Deux rouges ?

    عرض الجواب

    نختار كرتين من بين الكرات الحمراء الخمس: C₅² = (5 × 4)/2 = 10.

  3. 3) Bicolores ?

    عرض الجواب

    كرة حمراء وكرة خضراء: C₅¹ × C₃¹ = 5 × 3 = 15. (تحقق: 10 حمراوان + 3 خضراوان (C₃² = 3) + 15 = 28).

تدريب ذاتي

تدريب تطبيقي من إعداد المنصة — ليس موضوعاً رسمياً

  1. Combien de mots de 4 lettres (avec ou sans sens) peut-on former avec les lettres A, B, C, D sans répétition ?
  2. Calculer C₆² et A₆².

و. إتمام الدرس

دروس مرتبطة

التقدم في الدرس

الحالة: لم يبدأ. يُحفظ التقدم على هذا الجهاز فقط. إكمال الدرس لا يعني إتقانه: الإتقان سيُحسب لاحقاً من نتائج التمارين.

لائحة المراجعة

يصبح زر «أكملت الدرس» متاحاً بعد تأكيد القراءة وتحقيق كل عناصر لائحة المراجعة.

We use privacy-conscious analytics to understand traffic and game engagement — no names, emails, or other personal information collected. See our Cookie Policy or manage this anytime via Cookie Preferences in the footer.