القراءة المبيانية: إشارة دالة، المعادلات f(x) = λ والمتراجحات f(x) ≤ λ (Lecture graphique)
أ. تقديم الدرس
المحور في المقرر
2.1.3 تحديد إشارة دالة انطلاقاً من جدول تغيراتها؛ 2.1.5 تحديد إشارة دالة انطلاقاً من تمثيلها المبياني؛ 2.1.6 دراسة معادلات من الشكل f(x) = λ مبيانياً؛ 2.1.7 دراسة متراجحات من الشكل f(x) ≤ λ مبيانياًالإطار المرجعي 2025 للامتحان الجهوي للمترشحين الأحرار (المركز الوطني للامتحانات المدرسية وتقييم التعلمات)، الرياضيات، شعبة الآداب والعلوم الإنسانية
مدة الدراسة
55 دقيقة تقريباًمدة دراسة تقديرية (تقدير تربوي، وليست مدة الامتحان)
أهداف التعلم
أن أحدد إشارة دالة من جدول تغيراتها.
أن أحدد إشارة دالة من منحناها.
أن أحل مبيانياً معادلة f(x) = λ (عدد الحلول وقيمها).
أن أحل مبيانياً متراجحة f(x) ≤ λ.
لماذا هذا الدرس مهم في الامتحان؟
الإطار المرجعي يخصص أربعة بنود من «الاشتقاق ودراسة الدوال» للقراءة المبيانية (الإشارة، f(x) = λ، f(x) ≤ λ)، وهي أسئلة تأتي عادة بعد رسم المنحنى في تمرين الدوال (60% من النقطة).
مكتسبات قبلية
درس الاشتقاق وجدول التغيرات.
ب. الشرح المفصل
شرح تربوي من إعداد المنصة
1. الإشارة من جدول التغيرات
جدول التغيرات يعطي القيم الدنيا والقصوى. فإذا كانت القيمة الدنيا لدالة على مجال موجبة، فالدالة موجبة على هذا المجال؛ وإذا عبرت الدالة القيمة 0 وهي رتيبة قطعاً على مجال، فلها فيه صفر واحد تتغير عنده الإشارة.
Exemple — مثال
Exemple : g définie sur [0 ; 4], croissante de g(0) = 1 à g(2) = 5, puis décroissante jusqu'à g(4) = 2.
Minimum de g sur [0 ; 4] : min(g(0), g(4)) = min(1 ; 2) = 1 > 0 ⟹ g(x) > 0 sur [0 ; 4].
2. الإشارة من المنحنى
f(x) > 0 حيث يكون المنحنى فوق محور الأفاصيل، وf(x) < 0 حيث يكون تحته، وf(x) = 0 عند نقط تقاطعه مع المحور. نقرأ الأفاصيل على المحور الأفقي.
الشكل 1منحنى دالة مرسوم من صيغتها (من إعداد المنصة)
منحنى الدالة f(x) = x³ − 3x + 1 على [−2 ; 2]
الفترة / السنة: —
المنحنى يقطع محور الأفاصيل ثلاث مرات (α ≈ −1,88 ؛ β ≈ 0,35 ؛ γ ≈ 1,53). والخط المتقطع y = 1 يستعمل لحل f(x) = 1 وf(x) ≤ 1.
كيف أقرأ هذا الشكل؟
حدد المحورين والوحدة على كل محور.
للإشارة: انظر أين المنحنى فوق المحور الأفقي أو تحته.
لحل f(x) ≤ λ: اقرأ أفاصيل النقط التي يكون فيها المنحنى تحت المستقيم أو عليه.
المصدر: منحنى مرسوم من الصيغة (من إعداد المنصة)
Signe de f — إشارة f
x
−2 → α
α → β
β → γ
γ → 2
f(x)
−
+
−
+
3. حل f(x) = λ وf(x) ≤ λ مبيانياً
عدد حلول f(x) = λ هو عدد نقط تقاطع المنحنى مع المستقيم الأفقي y = λ.
الحلول هي أفاصيل نقط التقاطع.
حلول f(x) ≤ λ: الأفاصيل التي يكون فيها المنحنى تحت المستقيم y = λ أو عليه.
حلول f(x) ≥ λ: المنحنى فوق المستقيم أو عليه.
Exemples (vérifiés par le calcul) — أمثلة
f(x) = 1 ⟺ x³ − 3x = 0 ⟺ x(x² − 3) = 0 ⟺ x ∈ {−√3 ; 0 ; √3} (√3 ≈ 1,73) : trois solutions, lues aussi sur le graphique.
f(x) = 3 ⟺ x³ − 3x − 2 = 0 ⟺ (x + 1)²(x − 2) = 0 ⟺ x ∈ {−1 ; 2} : deux solutions (tangence en x = −1).
f(x) = 5 : aucune solution sur [−2 ; 2], car le maximum de f sur cet intervalle est 3.
f(x) ≤ 1 sur [−2 ; 2] ⟺ x ∈ [−2 ; −√3] ∪ [0 ; √3].
القراءة المبيانية تعطي قيماً تقريبية؛ وحين يطلب السؤال قيمة مضبوطة نؤكدها بالحساب كما في الأمثلة.
4. من جدول التغيرات إلى عدد الحلول
إذا لم يُعط المنحنى، نستعمل جدول التغيرات: على كل مجال تكون فيه الدالة متصلة ورتيبة قطعاً، للمعادلة f(x) = λ حل واحد إذا كانت λ بين قيمتي f عند طرفي المجال، ولا حل خارج ذلك.
Tableau de variations — جدول التغيرات
f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) ; f croissante sur [−2 ; −1], décroissante sur [−1 ; 1], croissante sur [1 ; 2]
f(−2) = −1 ; f(−1) = 3 ; f(1) = −1 ; f(2) = 3
λ = 1 : 1 ∈ ]−1 ; 3[ sur chacun des trois intervalles ⟹ trois solutions ✓
أخطاء شائعة
✗ قراءة الأراتيب بدل الأفاصيل عند حل f(x) = λ.
✓ الحلول قيم x: أفاصيل نقط التقاطع.
✗ حل f(x) ≤ λ بالجزء الذي فوق المستقيم.
✓ f(x) ≤ λ: المنحنى تحت المستقيم y = λ أو عليه.
✗ تقديم قيمة مقروءة على المنحنى على أنها مضبوطة.
✓ القراءة تقريبية؛ أكّد بالحساب إذا طُلبت قيمة مضبوطة.
ج. الملخص المنظم
الأفكار الأساسية
الإشارة من الجدول: القيمة الدنيا والقصوى والأصفار.
الإشارة من المنحنى: فوق المحور موجبة، تحته سالبة.
f(x) = λ: تقاطع المنحنى مع y = λ.
f(x) ≤ λ: المنحنى تحت y = λ.
عدد الحلول من جدول التغيرات على مجالات الرتابة.
المفاهيم الأساسية
Lecture graphique (قراءة مبيانية)
استخراج معلومات عن دالة من منحناها.
Abscisse (أفصول)
الإحداثي الأفقي x لنقطة.
Droite y = λ (المستقيم y = λ)
مستقيم أفقي يُستعمل لحل f(x) = λ.
معلومات للحفظ
f(x) = λ ⟺ Cf ∩ (y = λ)
f(x) ≤ λ ⟺ Cf sous la droite y = λ
بطاقة المراجعة السريعة
Signe : Cf au-dessus / au-dessous de l'axe.
f(x) = λ : points d'intersection.
f(x) ≤ λ : Cf sous y = λ.
Tableau : une solution par intervalle de monotonie si λ est atteinte.
د. منهجية الامتحان
كيف يمكن أن يرد الدرس في الامتحان؟
تمرين في مجال الدوال العددية. حسب جدول التخصيص في الإطار المرجعي: المتتاليات 20%، الدوال العددية 60%، الاحتمالات 20%؛ ومستويات المهارة: تطبيق مباشر للمعارف (تعريف، خاصية، مبرهنة، صيغة، تقنية…) 70%، واستحضار وتطبيق معارف غير معلنة في السؤال في وضعية مألوفة 30%.
تُقوَّم صحة النتيجة وخطوات الحساب والتعليل والكتابة الرياضية السليمة.
البنية المنتظرة للجواب
كتابة المعطيات بالرموز.
اختيار الخاصية أو الصيغة المناسبة وذكرها.
إنجاز الحساب خطوة خطوة.
كتابة النتيجة بجملة واضحة (مع الوحدة أو السياق عند الحاجة).
خطوات العمل
اقرأ السؤال كاملاً وحدد المطلوب.
اكتب الصيغة قبل التعويض.
تحقق من النتيجة (إشارة، مجال، قيمة معقولة).
أخطاء تضيع النقط
نتيجة دون خطوات.
خلط بين الصيغ (مثلاً بين المتتالية الحسابية والهندسية).
إغفال شروط التطبيق (مجال التعريف، q ≠ 1…).
هـ. أمثلة وتطبيقات
مثال تعليمي من إعداد المنصة
مثال محلول: الاشتغال بوثيقة
تمرين محلول من إعداد المنصة، على الدالة المرسومة في الشكل 1.
الوثيقة 1 — نص من إعداد المنصة للتدريب — ليس مقتطفاً من مصدر أو مؤلف
Énoncé
Soit f(x) = x³ − 3x + 1 sur [−2 ; 2] (figure 1). 1) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de f(x) = 0. 2) Résoudre graphiquement puis par le calcul f(x) = 3. 3) Résoudre f(x) ≤ 1.
المصدر: تمرين تطبيقي من إعداد المنصة.
Nombre de solutions de f(x) = 0 ?
عرض الجواب
Cf coupe l'axe des abscisses en trois points : f(x) = 0 admet trois solutions (α ≈ −1,88 ; β ≈ 0,35 ; γ ≈ 1,53).
f(x) = 3 ?
عرض الجواب
La droite y = 3 touche Cf en x = −1 et la coupe en x = 2. Calcul : x³ − 3x − 2 = (x + 1)²(x − 2) = 0, donc S = {−1 ; 2}.
f(x) ≤ 1 ?
عرض الجواب
Cf est sous la droite y = 1 pour x ∈ [−2 ; −√3] ∪ [0 ; √3] (x³ − 3x ≤ 0 ⟺ x(x² − 3) ≤ 0).
تدريب ذاتي
تدريب تطبيقي من إعداد المنصة — ليس موضوعاً رسمياً
Avec la figure 1, donner le signe de f(x) − 3 sur [−2 ; 2].
Une fonction h est croissante sur [0 ; 3] de h(0) = −2 à h(3) = 4, puis décroissante sur [3 ; 6] jusqu'à h(6) = 1. Combien de solutions a l'équation h(x) = 0 ? et h(x) = 2 ?
الحالة: لم يبدأ. يُحفظ التقدم على هذا الجهاز فقط. إكمال الدرس لا يعني إتقانه: الإتقان سيُحسب لاحقاً من نتائج التمارين.
لائحة المراجعة
يصبح زر «أكملت الدرس» متاحاً بعد تأكيد القراءة وتحقيق كل عناصر لائحة المراجعة.
We use privacy-conscious analytics to understand traffic and game engagement — no names, emails, or other personal information collected. See our Cookie Policy or manage this anytime via Cookie Preferences in the footer.