الرياضيات · الدوال العددية · الدرس 2 · درس مجاني

دراسة دالة: مجال التعريف، النهايات، جدول التغيرات، المنحنى (Étude de fonctions)

أ. تقديم الدرس

المحور في المقرر: Fonctions numériques — Dérivation et étude de fonctionsالإطار المرجعي 2025 للامتحان الجهوي للمترشحين الأحرار (المركز الوطني للامتحانات المدرسية وتقييم التعلمات)، الرياضيات، شعبة الآداب والعلوم الإنسانية
مدة الدراسة: 75 دقيقة تقريباًمدة دراسة تقديرية (تقدير تربوي، وليست مدة الامتحان)

أهداف التعلم

أن أحدد مجال التعريف.
أن أحسب نهايات بسيطة عند محدات المجال.
أن أنجز جدول التغيرات.
أن أستغل الجدول لرسم المنحنى وحل معادلات بيانياً.

لماذا هذا الدرس مهم في الامتحان؟

التمرين الطويل في الدوال (60% من النقطة حسب الإطار المرجعي) يتبع عادة خطوات دراسة دالة كاملة؛ إتقان هذه الخطوات يضمن جزءاً كبيراً من النقط.

مكتسبات قبلية

درس الاشتقاق.

ب. الشرح المفصل

شرح تربوي من إعداد المنصة

1. خطوات دراسة دالة

مجال التعريف (domaine de définition) Df.
النهايات عند محدات Df.
المشتقة f′ وإشارتها.
جدول التغيرات (tableau de variations).
نقط خاصة: تقاطع المنحنى مع المحورين، المماسات.
رسم المنحنى (courbe représentative).

2. مجال التعريف ونهايات مرجعية

مجال التعريف
نوع الدالة	الشرط
حدودية (polynôme)	معرفة على ℝ
خارج u/v	v(x) ≠ 0
جذر √u	u(x) ≥ 0
ln(u)	u(x) > 0

Limites usuelles — نهايات مرجعية

Polynôme : à l'infini, il a la même limite que son terme de plus haut degré.

lim (x→+∞) (x³ − 3x + 1) = lim (x→+∞) x³ = +∞

lim (x→+∞) 1/x = 0 ; lim (x→0⁺) 1/x = +∞

الإطار المرجعي يطلب «دراسة وتمثيل دوال عددية» دون أن يفصل المقاربات والفروع اللانهائية؛ لذلك نقتصر على النهايات اللازمة لجدول التغيرات والتمثيل، ولا نتوسع فيما لم يذكره الإطار.

3. جدول التغيرات واستغلاله

Tableau de variations — جدول التغيرات

f(x) = x³ − 3x + 1 sur ℝ

x : −∞ −1 1 +∞

f′(x) : + 0 − 0 +

f(x) : −∞ ↗ 3 ↘ −1 ↗ +∞

Équation f(x) = 0 : f change de signe sur ]−∞ ; −1[, ]−1 ; 1[ et ]1 ; +∞[ ⟹ trois solutions.

استغلال الجدول: عدد حلول معادلة f(x) = k يساوي عدد نقط تقاطع المنحنى مع المستقيم y = k؛ ونقرأ ذلك من القيم القصوى والدنيا والنهايات.

4. دراسة كاملة مختصرة لدالة ثانية

Étude complète

k(x) = 2x³ − 3x² sur ℝ

lim (x→−∞) k(x) = −∞ ; lim (x→+∞) k(x) = +∞ (terme de plus haut degré 2x³)

k′(x) = 6x² − 6x = 6x(x − 1)

k′ > 0 sur ]−∞ ; 0[ et ]1 ; +∞[ ; k′ < 0 sur ]0 ; 1[

Maximum local k(0) = 0 ; minimum local k(1) = 2 − 3 = −1

لرسم المنحنى: نضع النقطتين (0 ; 0) و(1 ; −1)، ونحترم اتجاه الأسهم في الجدول، ونحسب نقطاً إضافية عند الحاجة، مثل k(2) = 16 − 12 = 4 و k(−1) = −2 − 3 = −5.

وتقاطع المنحنى مع محور الأفاصيل يوافق حلول k(x) = 0: x²(2x − 3) = 0، أي x = 0 أو x = 3/2. لاحظ أن x = 0 مطراف وتقاطع في آن واحد (المنحنى يمس المحور هناك).

أخطاء شائعة

✗ نسيان مجال التعريف قبل الدراسة.

✓ ابدأ دائماً بـ Df.

✗ جدول تغيرات بلا قيم المطاريف والنهايات.

✓ اكتب f(a) عند كل مطراف والنهايات في الأطراف.

ج. الملخص المنظم

الأفكار الأساسية

الخطوات الست لدراسة دالة.
الحدودية معرفة على ℝ ونهايتها نهاية حدها الأعلى درجة.
إشارة f′ ← الأسهم في الجدول.
الجدول يحدد عدد حلول f(x) = k.
المنحنى يرسم انطلاقاً من الجدول والنقط الخاصة.

المفاهيم الأساسية

Domaine de définition (مجال التعريف): مجموعة الأعداد x التي تكون فيها f(x) معرفة.
Tableau de variations (جدول التغيرات): جدول يلخص إشارة f′ ورتابة f وقيمها المميزة.
Limite (نهاية): القيمة التي تقترب منها f(x) عندما يقترب x من قيمة أو من ما لا نهاية.

معلومات للحفظ

Df → limites → f′ → tableau → courbe

بطاقة المراجعة السريعة

1. Df.
2. Limites.
3. f′ et son signe.
4. Tableau.
5. Points particuliers et courbe.

د. منهجية الامتحان

كيف يمكن أن يرد الدرس في الامتحان؟

تمرين في مجال الدوال العددية. حسب جدول التخصيص في الإطار المرجعي: المتتاليات 20%، الدوال العددية 60%، الاحتمالات 20%؛ ومستويات المهارة: تطبيق مباشر للمعارف (تعريف، خاصية، مبرهنة، صيغة، تقنية…) 70%، واستحضار وتطبيق معارف غير معلنة في السؤال في وضعية مألوفة 30%.
تُقوَّم صحة النتيجة وخطوات الحساب والتعليل والكتابة الرياضية السليمة.

البنية المنتظرة للجواب

كتابة المعطيات بالرموز.
اختيار الخاصية أو الصيغة المناسبة وذكرها.
إنجاز الحساب خطوة خطوة.
كتابة النتيجة بجملة واضحة (مع الوحدة أو السياق عند الحاجة).

خطوات العمل

اقرأ السؤال كاملاً وحدد المطلوب.
اكتب الصيغة قبل التعويض.
تحقق من النتيجة (إشارة، مجال، قيمة معقولة).

أخطاء تضيع النقط

نتيجة دون خطوات.
خلط بين الصيغ (مثلاً بين المتتالية الحسابية والهندسية).
إغفال شروط التطبيق (مجال التعريف، q ≠ 1…).

هـ. أمثلة وتطبيقات

مثال تعليمي من إعداد المنصة

مثال محلول: الاشتغال بوثيقة

تمرين محلول (من إعداد المنصة).

الوثيقة 1 — نص من إعداد المنصة للتدريب — ليس مقتطفاً من مصدر أو مؤلف

Énoncé

Soit f(x) = −x² + 2x + 3 définie sur ℝ. 1) Calculer les limites en −∞ et +∞. 2) Dresser le tableau de variations. 3) Résoudre f(x) = 0.

المصدر: تمرين تطبيقي من إعداد المنصة.

1) Limites ?
عرض الجواب
نهاية الحد الأعلى درجة −x²: lim (x→±∞) f(x) = −∞.
2) Tableau ?
عرض الجواب
f′(x) = −2x + 2؛ f′ > 0 على ]−∞ ; 1[ و f′ < 0 على ]1 ; +∞[؛ قيمة قصوى f(1) = −1 + 2 + 3 = 4.
3) f(x) = 0 ?
عرض الجواب
−x² + 2x + 3 = 0 ⟺ x² − 2x − 3 = 0؛ Δ = 4 + 12 = 16؛ x = (2 − 4)/2 = −1 أو x = (2 + 4)/2 = 3.

تدريب ذاتي

تدريب تطبيقي من إعداد المنصة — ليس موضوعاً رسمياً

Étudier les variations de g(x) = x³ − 12x sur ℝ.
Déterminer le domaine de définition de h(x) = 1/(x − 4).

و. إتمام الدرس

دروس مرتبطة

التقدم في الدرس

الحالة: لم يبدأ. يُحفظ التقدم على هذا الجهاز فقط. إكمال الدرس لا يعني إتقانه: الإتقان سيُحسب لاحقاً من نتائج التمارين.

لائحة المراجعة

أحدد مجال التعريف.
أحسب نهايات حدودية.
أنجز جدول التغيرات.
أستغل الجدول لحل معادلة.

يصبح زر «أكملت الدرس» متاحاً بعد تأكيد القراءة وتحقيق كل عناصر لائحة المراجعة.