الرياضيات · المتتاليات العددية · الدرس 2 · درس مجاني
الإطار المرجعي يخصص 30% لاستحضار وتطبيق معارف غير معلنة في السؤال في وضعية مألوفة؛ والمتتاليات أكثر ما يُوظف في مسائل الحياة (ادخار، نمو، تناقص).
شرح تربوي من إعداد المنصة
| الوضعية | النموذج |
|---|---|
| زيادة ثابتة بقيمة a كل سنة | حسابية: uₙ₊₁ = uₙ + a |
| زيادة بنسبة t% كل سنة | هندسية: uₙ₊₁ = (1 + t/100)·uₙ |
| نقصان بنسبة t% كل سنة | هندسية: uₙ₊₁ = (1 − t/100)·uₙ |
+5 % ⟹ q = 1,05 −20 % ⟹ q = 0,8 +100 % ⟹ q = 2
Limite de qⁿ
Si q > 1 : qⁿ → +∞
Si 0 < q < 1 : qⁿ → 0
Si q = 1 : qⁿ = 1
تطبيق: كمية تتناقص بنسبة ثابتة (q بين 0 و1) تقترب من الصفر دون أن تبلغه؛ وكمية تنمو بنسبة ثابتة (q > 1) تتجاوز أي قيمة.
حين يُطلب أول قيمة لـ n تتجاوز فيها الكمية عتبة معينة، يمكن حساب الحدود المتتالية بانتظام (جدول) حتى تتجاوز العتبة. وفي درس اللوغاريتم سنتعلم حل هذه المتراجحات بالحساب: qⁿ > A ⟺ n·ln q > ln A.
Exemple — مثال
Population : P₀ = 10 000, +10 % par an ⟹ Pₙ = 10 000 × 1,1ⁿ.
P₁ = 11 000 ; P₂ = 12 100 ; P₃ = 13 310 ; P₄ = 14 641 ; P₅ = 16 105,1.
Pₙ > 15 000 pour la première fois quand n = 5.
يودع شخص 10 000 درهم في حساب بفائدة مركبة نسبتها 3% سنوياً: كل سنة تضاف الفائدة إلى الرأسمال، فتحسب فائدة السنة الموالية على المبلغ الجديد. نسمي Cₙ الرأسمال بعد n سنة.
C₀ = 10 000 ; q = 1 + 3/100 = 1,03
C₁ = 10 000 × 1,03 = 10 300
C₂ = 10 300 × 1,03 = 10 609
C₃ = 10 609 × 1,03 = 10 927,27
Cₙ = 10 000 × 1,03ⁿ (suite géométrique)
قارن بوضعية زيادة ثابتة: موظف يبدأ براتب 4 000 درهم ويزداد راتبه 200 درهم كل سنة. هنا الزيادة ثابتة فالنموذج متتالية حسابية: Sₙ = 4 000 + 200n، فيصبح الراتب بعد 5 سنوات 5 000 درهم.
الدرس المنهجي: اقرأ نص المسألة بحثاً عن كلمة «نسبة» أو «%» (هندسية) أو «مبلغ ثابت» (حسابية)، ثم اكتب العلاقة الترجعية قبل الحد العام.
وفي النهاية، أعد الجواب إلى سياق المسألة: لا تكتفِ بـ C₃ = 10 927,27، بل اكتب «بعد ثلاث سنوات يصبح الرأسمال حوالي 10 927,27 درهماً».
✗ زيادة 5% ⟹ q = 5 أو q = 0,05.
✓ زيادة 5% ⟹ q = 1 + 0,05 = 1,05.
✗ خلط الزيادة الثابتة بالزيادة النسبية.
✓ الثابتة: حسابية (+a)؛ النسبية: هندسية (×q).
مثال تعليمي من إعداد المنصة
الوثيقة 1 — نص من إعداد المنصة للتدريب — ليس مقتطفاً من مصدر أو مؤلف
Une voiture achetée 120 000 DH perd 20 % de sa valeur chaque année. On note Vₙ sa valeur après n années. 1) Calculer V₁ et V₂. 2) Exprimer Vₙ en fonction de n. 3) Que devient Vₙ quand n devient très grand ?المصدر: مسألة تطبيقية من إعداد المنصة (الأرقام توضيحية).
1) V₁ et V₂ ?
q = 1 − 0,20 = 0,8؛ V₁ = 120 000 × 0,8 = 96 000 DH؛ V₂ = 96 000 × 0,8 = 76 800 DH.
2) Vₙ ?
متتالية هندسية أساسها 0,8 وحدها الأول V₀ = 120 000: Vₙ = 120 000 × 0,8ⁿ.
3) Limite ?
بما أن 0 < 0,8 < 1 فإن 0,8ⁿ يؤول إلى 0، إذن Vₙ يؤول إلى 0: تقترب قيمة السيارة من الصفر مع مرور السنين.
تدريب تطبيقي من إعداد المنصة — ليس موضوعاً رسمياً
We use privacy-conscious analytics to understand traffic and game engagement — no names, emails, or other personal information collected. See our Cookie Policy or manage this anytime via Cookie Preferences in the footer.